Matemática-José Antonio Encinas: MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de un polinomio por un escalar
Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.
Si el polinomio es:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Y lo multiplicamos por k:

$k \cdot P(x) = k \cdot \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

Dando lugar a:

$k \cdot P(x) = \sum_{i = 0}^{n} k \cdot a_{i} \, x^{i}$

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

$P(x) = 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1$

Lo multiplicamos por 3,

$3 \cdot P(x) =3 \cdot ( 2 \, x^{4} + 5 \, x^{3} - 6 \, x^{2} + 7 \, x + 1)$

Operando con los coeficientes:

$3 \cdot P(x) =( 3 \cdot 2) \, x^{4} + ( 3 \cdot 5) \, x^{3} - ( 3 \cdot 6) \, x^{2} + ( 3 \cdot 7) \, x + ( 3 \cdot 1)$

Y tenemos como resultado:

$3 \cdot P(x) = 6 \, x^{4} + 15 \, x^{3} - 18 \, x^{2} + 21 \, x + 3$

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & 2x^4 & +5x^3 & -6x^2 & +7x & +1 \\ \times & & & & & 3 \\ \hline & 6x^4 & +15x^3 & -18x^2 & +21x & +3 \end{array}$

Que es la forma aritmética para hacer la operación.

[editar] Multiplicación de un polinomio por un monomio

Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio, veamos: Si el polinomio es:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \, x^{i}$

y el monomio es:

$M(x) = b \, x^{j}$

el producto del polinomio por el monomio es:

$P(x) \cdot M(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} \, x^{i}) \cdot b \, x^{j}$

Agrupando términos:

$P(x) \cdot M(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} \cdot b) \, (x^{i} \cdot x^{j})$

El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes:

$P(x) \cdot M(x) = \sum_{i = 0}^{n} (a_{i} \cdot b) \, x^{i+j}$

Que es el resultado del producto.

Ejemplo:

Partiendo del polinomio:

$P(x) = 5 \, x^{5} + 7 \, x^{4} - 5 \, x^{3} + 3 \, x^{2} - 8 \, x + 4$

y del monomio:

$M(x) = 3 \, x^{2}$

La multiplicación es:

$P(x) \cdot M(x) = (5 \, x^{5} + 7 \, x^{4} - 5 \, x^{3} + 3 \, x^{2} - 8 \, x + 4 ) \cdot 3 \, x^{2}$

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

$P(x) \cdot M(x) = (5 \cdot 3 ) \, x^{5} \cdot x^{2} + (7\cdot 3 ) \, x^{4}\cdot x^{2} + ( - 5\cdot 3 ) \, x^{3} \cdot x^{2} + (3\cdot 3 ) \, x^{2}\cdot x^{2} +(- 8\cdot 3 ) \, x \cdot x^{2} + (4\cdot 3) \cdot x^{2}$

realizando las operaciones:

$P(x) \cdot M(x) = 15 \, x^{7} + 21 \, x^{6} - 15 \, x^{5} + 9 \, x^{4} - 24 \, x^{3} + 12 \, x^{2}$

esta misma operación, se puede representar de esta forma:

$\begin{array}{rrrrrrrrr} & 5x^5 & +7x^4 & -5x^3 & +3x^2 & -8x & +4 \\ \times & & & & & & 3x^2 \\ \hline & 15x^7 & +21x^6 & -15x^5 & +9x^4 & -24x^3 & +12x^2 \end{array}$

donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)

[editar] Multiplicación de dos polinomios

Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que será un polinomio de grado n + m, así si:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

$Q(x) = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} x^{j}$

entonces:

$P(x) \cdot Q(x) = \Big( \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} \Big) \cdot \Big( \sum_{j = 0}^{m} b_{j} x^{j} \Big)$

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

$P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} ( a_{i} x^{i} ) \cdot ( b_{j} x^{j} )$

agrupando términos:

$P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i} b_{j} x^{i} x^{j}$

operando potencias de la misma base:

$P(x) \cdot Q(x) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i} b_{j} x^{i+j}$

Ejemplo:

vamos a multiplicar los polinomios:

$P(x) = - 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3$

$Q(x) = 3 \, x^{2} + x - 4$

el producto de los polinomios P(x) * Q(x):

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline \end{array}$

lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:

$P(x) \cdot ( - 4) = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot ( - 4)$

que resulta:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ \end{array}$

ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:

$P(x) \cdot x = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot x$

al realizar la operación se colocan los resultados alineados verticalmente según las potencias de x, del siguiente modo:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ \end{array}$

hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):

$P(x) \cdot 3 \, x^{2} = (- 2 \, x^{3} + 5 \, x^{2} + 6 \, x - 3) \cdot 3 \, x^{2}$

lo que resulta:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 & -9x^2 & & \\ \end{array}$

hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:

$\begin{array}{rrrrrrrr} & & -2x^3 & +5x^2 & +6x & -3 \\ & & \times & 3x^2 & +x & -4 \\ \hline & & 8x^3 & -20x^2 & -24x & +12 \\ & -2x^4& +5x^3 & +6x^2 & -3x & \\ -6x^5 & +15x^4 & +18x^3 & -9x^2 & & \\ \hline -6x^5 & +13x^4 & +31x^3 & -23x^2 & -27x & +12 \end{array}$